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Regra de Três Simples e Composta

Método prático para resolver problemas com grandezas direta e inversamente proporcionais. Regra de três simples (duas grandezas) e regra de três composta (três ou mais grandezas) – com aplicações em produção, obras, consumo, velocidade e muito mais.

Tema 15: Regra de Três Simples · Composta · Direta · Inversa · Aplicações
Regra de Três Simples

Problemas envolvendo duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

  • Direta: as grandezas aumentam/diminuem juntas. Multiplica cruzado: a/b = c/d → a·d = b·c.
  • Inversa: quando uma aumenta, a outra diminui. Inverte-se uma das razões: a·b = c·d.
📌 Direta: 5 pães custam R$12 → 8 pães custam x → 5/12 = 8/x → x = 19,20.
⚠️ Inversa: 6 operários fazem obra em 15 dias → 10 operários em x dias → 6×15 = 10×x → x=9 dias.
Regra de Três Composta

Envolve três ou mais grandezas (proporcionalidade direta/inversa simultânea).

  • Método: organizar as grandezas em colunas, identificar a incógnita.
  • Comparar cada grandeza com a que contém a incógnita (diretamente ou inversamente).
  • Montar a proporção: isolar a incógnita, multiplicando as frações conforme a relação.
🔧 Exemplo: 4 máquinas produzem 600 peças em 3 dias → 5 máquinas em 2 dias produzem quantas peças?
Estratégia: identificar natureza

Passos essenciais:

  • 1. Listar todas as grandezas.
  • 2. Colocar a incógnita (x) na última coluna.
  • 3. Comparar cada grandeza com a que contém x, fixando as outras.
  • 4. Se forem diretamente proporcionais, mantém a fração; se inversas, inverte.
  • 5. Igualar o produto das razões e resolver.

Regra de três: ferramenta para problemas de proporcionalidade

Da produção industrial ao planejamento doméstico
1. Regra de três simples – passo a passo

Caso direto: Exemplo: Um carro consome 8 litros de combustível para percorrer 100 km. Quantos litros consumirá em 250 km? Grandezas: distância e consumo, diretamente proporcionais (mais km, mais combustível). Montagem: 8/100 = x/250 → 100x = 2000 → x = 20 litros.

Caso inverso: Um ciclista percorre um trecho a 15 km/h em 2 horas. Quanto tempo levaria a 20 km/h? Velocidade e tempo são inversas. Montagem: 15·2 = 20·x → 30 = 20x → x = 1,5 h (1h30min).

🧠 Dica Para identificar inversa: pergunte-se "se uma grandeza aumenta, o que acontece com a outra?" Se a outra diminui, é inversa.
2. Regra de três composta – metodologia sistemática

Suponha que 6 operários, trabalhando 8 horas por dia, constroem 120 m de muro em 5 dias. Quantos metros farão 10 operários, trabalhando 6 horas por dia, em 8 dias? Grandezas: operários (O), horas/dia (H), dias (D) e metros (M). Organiza-se:

O = 6 → 10 (mais operários → mais metros → direta)
H = 8 → 6 (menos horas/dia → menos metros? Cuidado: se reduzem horas, reduzem produção → direta)
D = 5 → 8 (mais dias → mais metros → direta)
Todas diretas. Montagem: 6·8·5 / 120 = 10·6·8 / x. (ou 120/x = (6·8·5)/(10·6·8); simplifica: 120/x = (240)/(480) → 120/x = 1/2 → x = 240 m.

📌 Método prático Escreva a grandeza desconhecida (x) isolada: x = (valor conhecido) × (produto das razões das outras grandezas, invertendo quando inversa).
3. Identificando relações inversas na composta

Se uma grandeza for inversamente proporcional à grandeza que contém x, inverte-se a fração correspondente. Exemplo: 4 máquinas produzem 200 peças em 10 dias. Quantas máquinas são necessárias para produzir 500 peças em 5 dias?

Grandezas: máquinas (M), peças (P), dias (D). M e P: mais peças, mais máquinas → direta. M e D: mais dias, menos máquinas → inversa. Montagem: M = (4) × (500/200) × (10/5). Inverteu-se dias porque inversa. Resultado M = 4 × 2,5 × 2 = 20 máquinas.

⚠️ Erro comum Esquecer de inverter uma grandeza inversa é o erro mais frequente. Sempre verifique a relação com a incógnita.
4. Aplicações típicas em concursos
  • Obras e produção: operários, horas/dia, dias, produção.
  • Consumo e abastecimento: torneiras, vazão, tempo, volume.
  • Velocidade média: km/h, tempo, distância (relação direta entre distância e tempo se velocidade constante).
  • Regra de três com porcentagem: misturas, diluições, escalas.
  • Logística: caminhões, viagens, carga, distância.
🔧 Fórmula resumo para composta x = (valor conhecido) × (razão direta) × (razão direta) × ... × (razão inversa) – cada razão é a divisão entre o novo valor e o antigo, só invertendo se a relação com x for inversa.

Comparação: Regra de Três Simples × Composta

CaracterísticaRegra de Três SimplesRegra de Três Composta Número de grandezas2 (uma incógnita)3 ou mais (uma incógnita) Método básicoMultiplicação cruzada (direta) ou produto constante (inversa)Comparação individual de cada grandeza com a incógnita; montagem de proporção Exemplo direto5 kg de arroz custam R$20 → 8 kg custam R$328h/dia, 6 dias, 4 máquinas → 10h/dia, 3 dias, 5 máquinas produzem ... Dica principalIdentificar se é direta ou inversaAnalisar cada grandeza separadamente (fixando as outras)

Exercícios comentados (concursos e ensino fundamental)

1. (Simples – direta) Uma torneira despeja 30 litros de água em 5 minutos. Quantos litros despejará em 12 minutos?
30/5 = x/12 → 5x = 360 → x = 72 litros.
2. (Simples – inversa) A uma velocidade de 80 km/h, uma viagem dura 3 horas. Quanto tempo levaria a 120 km/h?
80·3 = 120·x → 240 = 120x → x = 2 horas.
3. (Composta – todas diretas) 3 máquinas produzem 240 peças em 4 horas. Quantas peças produzirão 5 máquinas em 6 horas?
Máquinas (M), horas (H), peças (P). Diretas. 240/x = (3·4)/(5·6) → 240/x = 12/30 → 240/x = 2/5 → 2x = 1200 → x = 600 peças.
4. (Composta – com inversa) 10 operários constroem 150 m de muro em 6 dias, trabalhando 8 h/dia. Quantos dias levarão 12 operários, trabalhando 6 h/dia, para construir 180 m?
Grandezas: operários (O), horas/dia (H), dias (D), metros (M). D e O: inversa; D e H: inversa; D e M: direta. Montagem: D = 6 × (10/12) × (8/6) × (180/150). D = 6 × (10/12) × (8/6) × (1,2). Simplificando: 6 × (10/12) = 5; 5 × (8/6) = 40/6 = 20/3; 20/3 × 1,2 = 20/3 × 6/5 = 120/15 = 8 dias.
5. (Composta – produção) 4 impressoras iguais, trabalhando 5 horas por dia, imprimem 2000 folhas em 2 dias. Quantas horas por dia devem trabalhar 6 impressoras para imprimir 3000 folhas em 3 dias?
Grandezas: impressoras (I), horas/dia (H), folhas (F), dias (D). H e I: inversa (mais impressoras, menos horas/dia); H e F: direta; H e D: inversa (mais dias, menos horas/dia). Montagem: H = 5 × (4/6) × (3000/2000) × (2/3). H = 5 × (2/3) × (3/2) × (2/3) = 5 × (2/3) × (3/2) = 5; depois × (2/3) = 10/3 ≈ 3,33 horas/dia (3h20min).
6. (Composta – logística) 6 caminhões transportam 240 toneladas em 8 viagens cada. Quantos caminhões são necessários para transportar 450 toneladas em 10 viagens cada?
Caminhões (C), toneladas (T), viagens (V). Relações: C e T direta; C e V inversa. Montagem: C = 6 × (450/240) × (8/10) = 6 × 1,875 × 0,8 = 6 × 1,5 = 9 caminhões.
📝 Para praticar 9 torneiras iguais enchem um tanque em 6 horas. Em quanto tempo 12 torneiras encheriam o mesmo tanque? (Resposta: inversa → 9×6 = 12×x → x=4,5 horas).

Como ensinar regra de três de forma prática

🏗️ Obra na escola
Propor problema: "Se 5 alunos pintam 30 carteiras em 2 horas, quantos alunos para pintar 90 carteiras em 3 horas?" – simular com grupos.
🍪 Receita coletiva
Ajustar receita para mais pessoas (direta) e tempo de forno (inverso para temperatura). Trabalhar com tabelas.
📈 Gráficos interativos
Usar planilha eletrônica para variar grandezas e ver o comportamento (linear para direta, hipérbole para inversa).
📚 BNCC: Habilidades relacionadas EF07MA17 (regra de três simples), EF08MA04 (regra de três composta). O professor pode integrar com Ciências (dilatação, velocidade), Geografia (escalas) e Educação Financeira (juros simples).

Resumo estratégico para provas

O que mais cai em regra de três
🎯 Dica final Na regra de três composta, uma boa prática é: 1) Colocar a incógnita no final; 2) Comparar cada grandeza com a da incógnita (fixando as outras); 3) Se a grandeza for inversamente proporcional, inverter a fração; 4) Multiplicar as frações e resolver. Verifique sempre a coerência do resultado!
Início (Matemática) Regra de três: resolvendo proporções