Razão e Proporção
Conceitos de razão (comparação entre grandezas), proporção (igualdade de razões), propriedade fundamental, grandezas direta e inversamente proporcionais, regra de sociedade e problemas de divisão proporcional – base para regra de três e porcentagem.
Comparação entre duas grandezas, geralmente na forma de fração.
- Razão entre a e b: a/b ou a:b (b≠0).
- Exemplo: Razão entre 20 e 4 é 20/4 = 5 (ou 5:1).
- Escala, densidade demográfica, velocidade média são razões (km/h, hab/km²).
- Razão inversa: (b/a) – troca os termos.
📌 0,75 = 75/100 = 3/4 (simplificada).
Igualdade entre duas razões: a/b = c/d (leia-se: a está para b assim como c está para d).
- Propriedade fundamental: a·d = b·c (produto dos extremos = produto dos meios).
- Exemplo: 2/3 = 4/6 → 2×6 = 3×4 → 12=12.
- Permite encontrar termo desconhecido (regra de três simples).
🔢 3/x = 6/10 → 3·10 = x·6 → 30=6x → x=5.
Diretamente proporcionais: quando uma dobra, a outra dobra (y = k·x).
Inversamente proporcionais: quando uma dobra, a outra reduz à metade (y = k/x).
- Divisão em partes diretamente proporcionais: A/B = constante.
- Divisão em partes inversamente proporcionais: A·B = constante.
Razão e proporção: comparações, propriedades e aplicações
Do mapa à receita de bolo: a proporção está em todo lugar
1. Razão – tipos e significados
Razão é uma forma de comparar quantidades. Pode ser expressa como fração, decimal ou porcentagem. Exemplos:
- Razão de semelhança: entre figuras geométricas (escala).
- Razão entre idades: Pedro tem 12 anos, João 16 → razão 12/16 = 3/4.
- Razão entre áreas: se um quadrado tem lado 2 e outro 4, razão das áreas = 4/16 = 1/4 (razão entre lados²).
🧠 Interpretação Uma razão a/b pode ser lida como "a para cada b". Ex: razão de meninas para meninos 3/5 → 3 meninas para cada 5 meninos.
2. Proporção – a igualdade que resolve problemas
A propriedade fundamental é a ferramenta principal. Dada uma proporção a/b = c/d, sabemos que a·d = b·c. Isso permite encontrar um valor desconhecido (cálculo do termo desconhecido). Além disso, é possível escrever séries de razões iguais (proporção múltipla): a/b = c/d = e/f = ... . Nesse caso, (a+c+e)/(b+d+f) também é igual à razão constante. Isso é usado em média proporcional.
✏️ Exemplo prático Em uma turma, a razão entre meninos e meninas é 2/3. Se há 12 meninos, quantas meninas? 2/3 = 12/x → 2x = 36 → x=18 meninas.
3. Grandezas diretamente proporcionais
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, o quociente entre elas é constante (y = k·x). Exemplos: espaço e tempo (velocidade constante), preço e quantidade de um produto, consumo de água e número de pessoas. Para dividir um número em partes diretamente proporcionais a uma série de números, usamos: constante K = valor total / soma das partes. Ex: dividir 240 em partes proporcionais a 2,3,5: total de partes = 10; cada unidade = 24; partes = 48, 72, 120.
🔧 Fórmula Dadas as grandezas A e B diretamente proporcionais: A₁/B₁ = A₂/B₂ = k.
4. Grandezas inversamente proporcionais
Quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção, mantendo o produto constante (x·y = k). Exemplos: velocidade e tempo para uma distância fixa, número de operários e dias para construir uma obra, vazão e tempo de enchimento. Para dividir um número em partes inversamente proporcionais a uma série, invertem-se os números e depois divide-se como diretamente proporcionais aos inversos. Ex: dividir 120 em partes inversamente proporcionais a 2,3,5 → inversos: 1/2, 1/3, 1/5 → mmc 30 → 15,10,6 → soma 31 → k = 120/31 → partes = 120×15/31, etc. Cuidado: a forma mais comum é usar a constante de proporcionalidade invertida.
⚠️ Atenção Em problemas inversos, é comum multiplicar cruzado de forma diferente: a·b = c·d se a e b inversamente proporcionais a c e d?
5. Regra de sociedade e divisão proporcional composta
Muito comum em concursos: divisão de lucros ou prejuízos entre sócios proporcionalmente ao capital investido e ao tempo de investimento. Nesse caso, a divisão é diretamente proporcional ao produto (capital × tempo). Exemplo: sócio A investiu R$10.000 por 4 meses, B investiu R$15.000 por 5 meses. Para dividir lucro de R$5.000, calcula-se A = 10.000×4 = 40.000, B = 75.000; total=115.000; A = (40.000/115.000)×5000 ≈ R$1739,13; B ≈ R$3260,87.
📊 Fórmula resumo Na regra de sociedade composta: parte de cada sócio = (capital × tempo) / soma (capital×tempo) × lucro total.
Comparação: Diretamente × Inversamente Proporcionais
| Característica | Diretamente proporcionais | Inversamente proporcionais |
|---|
| Relação funcional | y = k·x | y = k / x (ou x·y = k) |
| Quando x dobra | y dobra | y se reduz à metade |
| Gráfico | Reta crescente passando pela origem | Hipérbole (curva decrescente) |
| Divisão de uma quantia | Partes proporcionais aos números dados | Partes proporcionais aos inversos |
| Exemplo típico | Preço × quantidade | Velocidade × tempo |
Exercícios comentados (concursos e ensino fundamental)
1. (Razão) A razão entre a altura de um poste (6m) e sua sombra (4m) é 6/4 = 3/2 = 1,5. Qual é o significado?
A altura é 1,5 vezes a sombra.
2. (Proporção) Determine x em x/12 = 7/21.
21x = 12×7 → 21x=84 → x=4.
3. (Diretamente proporcional) 5 litros de tinta pintam 30 m². Quantos litros para 75 m²?
5/30 = x/75 → 30x=375 → x=12,5 litros.
4. (Inversamente proporcional) 6 operários fazem uma obra em 15 dias. Em quantos dias 10 operários fariam?
6×15 = 10×d → 90=10d → d=9 dias.
5. (Divisão diretamente proporcional) Divida R$ 480 em partes proporcionais a 2, 3 e 5.
Soma = 10; k=48; partes = 96, 144, 240.
6. (Regra de sociedade) Três sócios investiram: A: R$20.000 por 6 meses, B: R$30.000 por 4 meses, C: R$25.000 por 8 meses. Lucro R$40.000. Quanto recebe cada?
Produtos: A=120.000, B=120.000, C=200.000; soma=440.000. A = (120.000/440.000)×40.000 ≈ R$10.909,09; B igual; C = (200/440)×40.000 ≈ R$18.181,82.
📝 Para praticar A escala de um mapa é 1:300.000. Distância real entre cidades é 45 km. Qual a distância no mapa? (Resposta: 45 km = 4.500.000 cm → 4.500.000 / 300.000 = 15 cm).
Como ensinar razão e proporção de forma significativa
Ajustar ingredientes para mais pessoas (proporção direta) ou para menos (inversa no tempo de preparo).
Usar escala para calcular distâncias reais e desenhos em proporção.
Relacionar distância e tempo (direto) e velocidade com tempo (inverso).
📚 BNCC: Habilidades relacionadas EF06MA12 (razão entre grandezas), EF07MA17 (resolver problemas com grandezas direta/inversamente proporcionais), EF08MA04 (divisão proporcional). O professor pode integrar com Geografia (densidade demográfica), Física (velocidade, densidade) e Educação Financeira (divisão de lucros).
Resumo estratégico para provas
O que mais cai em razão e proporção
- Calcular razão entre duas grandezas e interpretar (escalas, taxas).
- Resolver proporções usando a propriedade fundamental (meios por extremos).
- Diferenciar e aplicar proporcionalidade direta e inversa em problemas de regra de três.
- Dividir valores em partes proporcionais (diretas e inversas).
- Resolver problemas de regra de sociedade (capital × tempo).
🎯 Dica final Para problemas de divisão inversamente proporcional, inverta os números e depois divida como diretamente proporcional. Ex: dividir 120 em partes inversamente prop. a 2,3,5: inversos 1/2,1/3,1/5 → mmc 30 → 15,10,6 → soma 31 → k=120/31 → partes: 120×15/31, etc. Evite erros de interpretação lendo o enunciado com cuidado.